La Distribución de Cauchy es una distribución continua que se define gracias a sus parámetros de ubicación y escala. La distribución de una variable aleatoria es útil no por sus aplicaciones sino por lo que nos dice sobre nuestras definiciones. La Distribución de Cauchy es una de esas distribuciones por lo que a veces se le denomina ejemplo patológico.
A pesar de que la Distribución de Cauchy está bien definida y tiene una conexión con un fenómeno físico, lo cierto es que la distribución no tiene una media o una varianza. Lo que es más, no posee un momento que genere la función.
Llamada de esta manera, la distribución de Cauchy, gracias al matemático francés Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857). Poisson publicó por primera vez información sobre la distribución, a pesar de que lleva el nombre de Cauchy.
Propiedades
Constituye un ejemplo de una distribución que no tiene varianza, media o momentos superiores definidos. Tanto su moda como su mediana están definidas y son iguales a X0.
La razón tiene la distribución estándar de Cauchy cuando son dos variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con valor esperado 0 y varianza 1. UV U/V.
Cuando es un positivo semidefinida covarianza matriz. Que tiene entradas diagonales estrictamente positivo. Entonces para independientes e idénticamente distribuidos y cualquier azar (vector independiente de y tal que y (marcando una distribución categórica) tenemos que:
Al tiempo que son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Cada cual con una distribución Cauchy estándar. La media muestral entonces tiene la misma distribución de Cauchy estándar. Para verificar esto, calculemos la función característica de la media muestral:
donde es la media muestral. Así mostramos que la condición de varianza finita no puede descartarse en el teorema del límite central. Además, sirve como ejemplo de una versión más generalizada del teorema. Es característico de todas las distribuciones estables, de las cuales la distribución de Cauchy es un caso particular. 
La distribución de Cauchy se define como una distribución de probabilidad infinitamente divisible. Al tiempo que es una distribución estrictamente estable.
La distribución de Cauchy coincide con el estándar de Student t (distribución con un grado de libertad).
Tal como sucede con todas las distribuciones estables, la distribución de Cauchy pertenece a la familia de escala de ubicación que se cierra bajo transformaciones lineales con coeficientes reales. Por lo que la distribución de Cauchy se cierra bajo transformaciones fraccionarias lineales con coeficientes reales. Con relación a esto, veamos también la parametrización de McCullagh de las distribuciones de Cauchy.
Función característica
La función característica de la distribución de Cauchy viene a través de X
esto corresponde a la transformada de Fourier de la densidad de probabilidad. Se puede expresar en términos de la función característica la densidad de probabilidad original. Esencialmente a través del uso de la transformada inversa de Fourier:
La n- ésima derivada de la función característica evaluada es el n- ésimo momento de una distribución es. Fijémonos que la función característica no es diferenciable en el origen. Debido al hecho de que la distribución de Cauchy no tiene momentos bien definidos superiores al momento cero. t = 0.
